现代数学启蒙3D教程10：正弦函数设计

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1.设计方案：

下面可以直接作为给学生的 Rhino + Grasshopper 设计方案。目标是利用图中的电池组合，画出一个完整周期的正弦函数，并将横向缩小为原来的 13\frac13，纵向放大为原来的 33 倍。

设计目标

设计函数：

y=3sin⁡(x3)y=3\sin\left(\frac{x}{3}\right)

这里两个乘法器的作用分别是：

左边 [A×B]：系数设为 13\frac13

右边 [A×B]：系数设为 33

这样可以让正弦曲线在两个方向上产生不同的尺度变化。

一、建立完整周期的参数范围

使用：

[Construct Domain] → [Range]

在 [Construct Domain] 中设置：

A=0,B=6πA=0,\qquad B=6\pi

因为经过左侧的 13\frac13 之后：

13(6π)=2π\frac13(6\pi)=2\pi

所以送入 sin(x) 的数值刚好覆盖：

0→2π0\rightarrow2\pi

也就是一个完整周期。

建议：

这样曲线比较光滑。

二、生成 X 坐标

[Range] 的输出直接连接：

因此最终曲线的横坐标范围为：

0≤x≤6π0\le x\le6\pi

三、计算正弦函数

将 [Range] 输出同时连接到左侧：

[A×B]

左边乘法系数设置：

B=13B=\frac13

于是得到：

x3\frac{x}{3}

再连接到：

[Expression]

表达式填写：

因此得到：

sin⁡(x3)\sin\left(\frac{x}{3}\right)

Grasshopper 的三角函数默认使用 弧度制。

四、纵向放大 3 倍

将 [Expression] 的输出连接到右侧：

[A×B]

设置：

B=3B=3

输出为：

3sin⁡(x3)3\sin\left(\frac{x}{3}\right)

然后连接到：

如果按照图片中的结构，曲线是在 XZ 平面 内生成的，所以：

五、生成曲线

将 [Construct Point] 输出的所有点连接到：

[Interpolate Curve]

即：

Grasshopper 会用这些离散点生成一条光滑的正弦曲线。

六、把曲线变成可打印实体

图片中最后使用：

给 [Pipe] 的 R 输入一个 [Number Slider]。

例如：

如果实际用于 3D 打印，建议根据模型单位适当调大，例如：

或

最后经过 [Cap] 封住两端，即可得到封闭实体。

学生版完整连接图

最终得到的数学模型可以写成：

z=3sin⁡(x3)\boxed{z=3\sin\left(\frac{x}{3}\right)}

其中：

0≤x≤6π0\le x\le6\pi

因此它恰好显示 一个完整周期，振幅为 33，周期为：

T=6πT=6\pi

这也非常适合用来向学生说明：函数外面的 3 控制纵向伸缩，而函数里面的 13\frac13 控制横向伸缩。

2.电池组合：