现代数学启蒙3D教程6：正20面体设计

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1.设计方案：

可以。正二十面体（Regular Icosahedron）反而比正十二面体更容易，因为它的 20 个面全部都是正三角形。

下面直接给你适用于现在这个 GhPython 电池的完整版本：

左侧保持默认输入 x

x = 50 表示棱长 50 mm

右侧使用默认输出 a

生成实心正二十面体

自动让其中一个正三角形面贴在 XY 平面

整个模型位于 z≥0z\ge 0，方便 3D 打印

1. Grasshopper 连接

保持：

不要修改 x 和 a 的名字。

2. Python 完整代码

把 Python 电池原来的代码全部删除，粘贴：

3. 这段代码的基本数学原理

正二十面体有：

12 个顶点\boxed{12\text{ 个顶点}}

30 条棱\boxed{30\text{ 条棱}}

20 个正三角形面\boxed{20\text{ 个正三角形面}}

它同样与黄金比例

ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

密切相关。

标准的 12 个顶点可以写成：

(0,±1,±ϕ)(0,\pm1,\pm\phi)

(±1,±ϕ,0)(\pm1,\pm\phi,0)

(±ϕ,0,±1)(\pm\phi,0,\pm1)

一共：

4+4+4=124+4+4=12

个顶点。

4. 为什么这里缩放更简单？

这组标准坐标的棱长刚好是：

因此代码非常简单：

当：

就是：

s=25s=25

5. 它是怎样找到 20 个面的？

这一部分比正十二面体还容易理解。

程序从 12 个点中任取三个：

然后计算三条边：

如果三条边全部等于：

5050

即：

那么这三个点必然构成一个正三角形面。

因此：

这一点特别适合拿来讲组合数学和三维几何。

6. 最后为什么要旋转？

原始数学坐标生成的正二十面体并没有保证某个面水平。

所以代码自动：

最终应该像：

所以它可以直接作为打印底面。

7. 你现在就有两个非常好的模型

正十二面体

正二十面体

注意这里有一个非常漂亮的关系：

正十二面体和正二十面体互为对偶多面体\boxed{\text{正十二面体和正二十面体互为对偶多面体}}

十二面体：

V=20,E=30,F=12V=20,\quad E=30,\quad F=12

二十面体：

V=12,E=30,F=20V=12,\quad E=30,\quad F=20

也就是：

V↔F\boxed{V\leftrightarrow F}

而边数 E=30E=30 不变。

这两个模型放在一起做 Grasshopper + 数学教学其实非常合适。